Embora nem sempre seja perceptível, a matemática se ocupa essencialmente em decodificar regras da natureza para aplicá-las ao nosso dia a dia. Na Universidade Federal do Rio Grande do Sul, por exemplo, há um grupo de pesquisa que se dedica ao estudo dos Sistemas de Partículas Interagentes, uma subárea da probabilidade que analisa os chamados fenômenos aleatórios.

Os fenômenos da natureza se dividem em dois tipos: os determinísticos e os aleatórios. Os determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de realizações – por exemplo, a temperatura em que a água entra em ebulição. Já os fenômenos aleatórios são os de resultados incertos – por exemplo, a quantidade de chuva num determinado período numa determinada região. Devido a vários experimentos, que variam de área para área, a chance de ocorrência destes fenômenos aleatórios pode ser quantificada numericamente, o que é conhecido como probabilidade.

A teoria da probabilidade é essencial, como fundamentação matemática, para o estudo de muitas atividades humanas que envolvem a análise quantitativa de fenômenos aleatórios. Além disso, métodos de probabilidade podem ser aplicados para descrever sistemas complexos, quando se tem apenas informação parcial sobre o seu estado. A visão clássica da física era a de que as leis fundamentais da natureza são mecânicas e que todos sistemas físicos são, portanto, governados por leis da mecânica no nível microscópico. Estas leis são as equações do movimento que transforma qualquer dado inicial num correspondente estado no tempo futuro.

Mas não é fácil saber exatamente no nível microscópico as posições e velocidades de cada molécula quando o sistema é visto da escala humana, a macroscópica. Por exemplo, querer saber o comportamento (posição, velocidade) de todas moléculas de uma determinada substância numa reação química pode ser bastante complicado. Então, foi desenvolvida uma nova área da matemática para fundamentar o estudo do comportamento destes sistemas, já que a mecânica clássica se mostrava ineficiente nestes casos. Esta área é chamada Sistemas de Partículas Interagentes e teve início na década de 70. Trata-se de um ramo da probabilidade que analisa rigorosamente modelos aleatórios que surgem da física, estatística, biologia, economia e outros campos.

Nos modelos estudados em Sistemas de Partículas Interagentes, partículas evoluem no espaço e no tempo, seguindo regras probabilísticas simples de interação entre elas. A complexidade de tais modelos é consequência da enorme quantidade de eventos simples ocorrendo simultaneamente. Um dos objetivos é justificar rigorosamente o comportamento macroscópico dos sistemas físicos que podem ser caracterizados no seu nível microscópico por regras probabilísticas de interação entre as partículas. Estamos nos referindo ao limite hidrodinâmico do sistema, para o qual são usadas técnicas de probabilidade e de outras áreas da matemática, como a de equações diferenciais parciais.

O aparecimento de equações diferenciais parciais, que são determinísticas, no estudo dos Sistemas de Partículas Interagentes não é uma surpresa do ponto de vista da física, pois é esperado que o comportamento macroscópico dos mesmos seja regido por equações determinísticas. Mas, do ponto de vista da matemática, isso é umas das coisas que torna esta área de pesquisa muito interessante, pois partindo de modelos microscópicos aleatórios derivamos equações determinísticas para o nível macroscópico.